初中试题-数学之家

已知AB是⊙O的切线，切点为B，直线AO交⊙O于C、D两点，CD=4，∠DAB=30°，动点P在直线AB上运动，射线PC交⊙O于另一点Q，
（1）当点P运动到Q、C两点重合时（如图1），求AP的长．
（2）在点P的运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为2？（直接写出答案）
（3）当使△CQD的面积为2，且Q位于以CD为直径的上半圆上，CQ＞QD时（如图2），求AP的长．

如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（-2，4）、（-2，0）、（-4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A₁B₁C₁．
（2）平移△ABC，使点A移动到点A₂（-1，-1），画出平移后的△A₂B₂C₂，点C₂的坐标（1，-2）．
（3）把△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB₃C₃，点C₃坐标为（1，-2）．

利用一面墙（墙EF最长可利用25米），用砌37米长的墙的材料围成一个矩形花园ABCD，与围墙平行的一边BC上要预留3米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．设边AB的长是x米，矩形花园ABCD的面积是y平方米．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，这个矩形花园ABCD的面积y最大，并求出这个最大值；
（3）当矩形花园ABCD的面积不小于128平方米时，x的取值范围是7.5≤x≤16．

如图，过△ABC的顶点A分别作对边BC上的高AD和中线AE，D为垂足，E为BC的中点，规定λ_A=$\frac{DE}{BE}$，特别地，当点D与E重合时，规定λ_A=0．对λ_B、λ_C作类似的规定．给出下列结论：
①若∠C=90°，∠A=30°，则λ_A=1，λ_C=$\frac{1}{2}$．
②若λ_A=1，则△ABC为直角三角形．
③若λ_A＞1，则△ABC为钝角三角形；若λ_A＜1，则△ABC为锐角三角形．
④若λ_A=λ_B=λ_C=0，则△ABC为等边三角形．
其中，正确结论的个数是（　　）

如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A，D），Q是BC边上的任意一点，连接AQ，DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）求证：△APE∽△PDF；
（2）设AP=x，求四边形EQDP的面积S（用含x的代数式表示出来）；若四边形EQDP的面积等于2$\frac{1}{4}$时，说明PE与DQ的数量关系．

如图1所示，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由；
（3）如图2所示，过点G作MN∥DE交AD于点M，交BE于点NM连接BM，设CG的长为x，正方形ABCD的边长为a（a＞0），△BMN的面积为S，试探究S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC边向C以3cm/s的速度移动．已知P、Q分别从A、B同时出发，点P到B或点Q到C时，P与Q同时停止运动．

（1）求△PBQ的面积S（cm²）关于移动时间t（s）的函数关系式及t的取值范围．
（2）画出这个函数的图象．
（3）指出△PBQ的面积S随移动时间t如何变化．

如图，在6×6的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形，△ABC是一个格点三角形．
（1）在图①中，请判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由；
（2）在图②中，以O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与△ABC的位似比为2：1
（3）在图③中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与△ABC相似，且有一条公共边和一个公共角．

如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP²，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．
请判断：∠APB是否为∠MON的智慧角，并说明理由．

如图，已知抛物线y=-x²+2x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）若点E为该抛物线上的点，点F为直线AD上的点，且点E、F的纵坐标都是1，求线段EF的长；
（3）若点P是该抛物线上的一个动点，且点P在直线AD的上方，求△APD面积的最大值．