初中试题（第2页）-数学之家

有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，并测得∠ADB=30°．
（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）将△BCD与△MEF剪去继续探究，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB₁D₁，AD₁交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时；
①请直接写出旋转角β的度数；
②若测得AB=10cm，求出此时△AFK的面积．

在平面直角坐标系中，点与点之间存在一种变换T，在变换T的作用下，点P（x，y）被变为点P′（2x-y，3x-2y+3）．例如：当P点坐标为（1，0）时，在变换T的作用下变为点P′（2×1-0，3×1-2×0+3），即为P′（2，6）．
（1）若点M在变换T的作用下变为M′（1，-1），求点M的坐标；
（2）若点N（$\frac{m}{4}$，m）在变换T的作用下变为的对应点N′在第二象限，求实数m的取值范围；
（3）设平面直角坐标系上的任意一点Q（x，y）在变换T的作用下对应点为Q′，问是否存在一次函数y=kx+b，使得点Q和Q′都在这个一次函数的图象上？若存在，求出k、b的值；若不存在，请说明理由．

一枚棋子从直角坐标系中的点A₁（a，b）处出发，第1次跳到点A₁关于x轴的对称点A₂处，第2次跳到A₂关于y轴的对称点A₃处，第3次跳到点A₃关于x轴的对称点A₄处，…按以上规律继续跳动下去．
（1）写出这枚棋子跳动99次时，所在点的坐标．
（2）如果a＜0，b＞0，写出这枚棋子跳动第n次时所在的象限．

在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A，B两点，若A（4，1），点B的横坐标为-2．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）若一次函数y=kx+b的图象交x轴于点C，过C作x轴的垂线交反比例函数图象于点D，连接OA，OD，AD，求△AOD的面积．

甲．乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，若快车甲的速度为60km/h，慢车乙的速度比快车甲慢4km/h，A、B两地相距80km，求两车出发到相遇所行时间．如果设xh后两车相遇，则根据题意列出方程（　　）

$\frac{x}{80}$+$\frac{x-4}{80}$=60

60x+（60-4）x=80

60x+60（x-4）=80

如图，△ABC中，AB=AC=12cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在BC上以2cm/s的速度由B→C运动，同时，点Q在AC上以相同的速度由C→A运动，当点P到达点C或点Q到达点A时运动停止．
（1）经过1s后，△BPD与以点C、P、Q为顶点的三角形是否全等？为什么？
（2）如果点Q的速度与点P（2cm/s）不等，（1）中的两个三角形是否全等？若能，求出此时点Q的速度和运动时间；若不能，请说明理由．

如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的边AB的长为x（m），面积为y（m²）．
（1）若y与x之间的函数关系式；
（2）若要围成面积为45m²的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45m²更大的花圃吗？若能，请求出最大面积，并说明围法；若不能，请说明理由．

根据学校合唱比赛的活动细则，每个参赛的合唱团在比赛时须演唱4首歌曲，九（2）班合唱团已确定了2首歌曲，还需在A，B两首歌曲中确定一首，在C、D、E三首歌曲中确定另一首，则确定的参赛歌曲中有一首是D的概率是（　　）

如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C两点重合），连接AD，作∠ADE=40°，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=25；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；
（2）当△ABD≌△DCE时，求CD的长；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA=110°时，请判断△ADE的形状，并证明之．

下列x的值，是一元一次方程3x+2=$\frac{5}{2}$的解的是（　　）

x=$\frac{1}{6}$

x=$\frac{3}{2}$

x=$\frac{5}{3}$

小明买了张100元的乘车IC卡，如果他乘车的次数用x表示，则记录他每次乘车后的余额y元）如表：

次数x	1	2	3	4	…
余额y	100-1.2	100-2.4	100-3.6	100-4.8	…

（1）写出乘车的次数x表示余额y的关系式．
（2）利用上述关系式计算小明乘了15次车还剩下多少元？
（3）余额还有40元时，小明已使用此卡乘车多少次？
（4）小强最多能乘几次车？

如图，铁路上A、B两地相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB垂足分别为A、B，已知DA=15km，CB=10，现在要在铁路AB上修建一个物流中心E．
（1）如果C、D两村庄到物流中心E的距离相等．那么物流中心E应修建在离A地多少千米处？在图中标出物流中心E的位置，井说明理由．
（2）如果C、D两村庄到物流中心E的距离之和最短，那么物流中心E应修建在什么地方？在图中标出物流中心E的位置，并求出最短距离的平方．

在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（-1，3）的“可控变点”为点（-1，-3）．
（1）若点（-1，-2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为（-1，2）；
（2）若点P在函数y=-x²+16（-5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是-16≤y′≤16，则实数a的取值范围是$\sqrt{7}$≤a≤4$\sqrt{2}$．

如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C两点重合），连接AD，作∠ADE=40°，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=25；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；
（2）当△ABD≌△DCE时，求CD的长；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA=110°时，请判断△ADE的形状，并证明之．

如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图2．
（1）问①△AGC∽△HGA吗？答：相似；②△AGC∽△HAB吗？为什么？
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图2的情况说明理由）；
（3）在整个运动过程中，当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

某校篮球队9名主力队员中有4人调到省队学习训练，学校又从其它省市重新物色了4名球员加入主力队伍，新老队员的身体素质和技战术水平的综合能力得分如表所示：

编号	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧	⑨
原来球队	72	72	77	77	78	80	86	86	92
现在球队	72	72	77	77	78	93	84	83	84

球队调整后与调整前相比，综合能力得分的方差变小（填“变小”、“不变”或“变大”）．

某校组织初三学生电脑技能竞赛，每班选派相同人数去参加竞赛，竞赛成绩分A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．将初三（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成统计图如下．

（1）此次竞赛中（2）班成绩在C级以上（包括C级）的人数为17；
（2）请你将表格补充完整：

	平均数（分）	中位数（分）	众数（分）
1班	87.5	90	②90
2班	88	①85	100

（3）试运用所学的统计知识，从两个不同角度评价初三（1）班和初三（2）班的成绩．

某装备企业采用订单式生产销售某种产品，保证其销售量与产量相等，图中的线段AB，线段CD分别表示该产品每万台生产成本y₁（单位：万元）、销售价y₂（单位：万元）与产量x（单位：台）之间的函数关系，考虑企业的经济效益，当此种产品市场预定生产为75万台时，将停止订单生产销售，求当该产品产量为多少万台时，可实现2000万元利润？

某商店若将进价为100元的某商品按120元出售，则可卖出300件
（I）若在120元的基础上每涨价1元，则会少卖出10件，为了获得最大利润，商店应将该商品定价为多少？
（2）为了清库存，商店决定降价，经调查每降价1元可多卖20件，要求售价不低于110（售价为整数）请写出自变量取值范围，如何定价才能获利最大且能更好地清库存？

如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm，线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时停止运动，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接DF，设运动的时间为t秒（t≥0）
（1）用含t的代数式表示线段EF的长度；
（2）在运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，试说明理由．