初中试题（第3页）-数学之家

如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D；
（1）若∠ABC=60°，∠DCE=70°，则∠D=40°；
（2）若∠ABC=70°，∠A=80°，则∠D=40°；
（3）若∠ABC+∠ACB=100°，则∠D=40°；
（4）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含∠A的式子表示∠D）

如图：一幅三角板如图放置，等腰直角△ABC固定不动，另一块△DEF的直角顶点放在等腰直角△ABC的斜边AB中点O 处，且可以绕点O旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AC、BC上．
（1）在旋转过程中线段BH和CG大小有何关系？证明你的结论．
（2）若AC=BC=4cm，在旋转过程中四边形GCHD的面积是否不变？若不变，求出它的值，若变，求出它的取值范围．

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，F在CD上，且AF垂直平分CD，FG平分∠AFD，交AD于G，连接GB，交AF于N，且FN=FD．
（1）求证：△GFN≌△GFD；
（2）如图1，连接ND，若BC=ND，∠ADC=75°，求证：AN=AB；
（3）如图2，延长AF、BC交于点E，过B作BK⊥AE于K，若∠BAF=2∠E，猜想，AB与KF之间有何数量关系？请说明理由．

如图，矩形AOCB在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，A在y轴上，直线AC的关系式为y=$\frac{3}{4}$x+9，D是OA上的一点，若将矩形AOCB沿CD折叠，点A恰好落在x轴上的A′处．
（1）求AC的长；
（2）求直线A′D的关系式；
（3）设一动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CD方向运动，运动时间为t s．
①当t为何值时，BC=BP？
②在运动过程中，存在以P为圆心的⊙P既与AC相切又与OA相交，请求出t的取值范围．

如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点0．
（1）当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$时，求$\frac{AO}{AD}$的值：
（2）当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}、\frac{1}{4}$时，求$\frac{AO}{AD}$的值；
（3）试猜想$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{n+1}$时$\frac{AO}{AD}$的值，并证明你的猜想．

某同学将一块正方形铁皮剪去四个小正方形，做成一个无盖盒子，如图1所示．
（1）若剪下的四个小正方形的边长均为6cm，且无盖盒子的容积为3750cm³，则原正方形的边长为多少？
（2）为了制作一个有盖的盒子，他又设计了如图2的方案，为了使有盖盒子的高于容积和图1中无盖盒子的高与容积一样，则需要边长多大的正方形铁皮？

某单位要组织员工外出旅游，甲旅行社说：“所有游客的票价一律八折”．乙旅行社说：“5人免费，其余一律全票．”假如票价为1000元/人．回答下列问题：
（1）设有游客x名，甲旅行社的收入为y₁元，乙旅行社的收入为y₂元，请分别写出用x表示y₁和y₂的关系式．
（2）如果有20人要去旅游，请算一下哪家旅行社更优惠．

植树造林是改造环境的一种有效措施，某希望学校初一年级三个班的学生在荒山上植树，为祖国的土地增添一抹绿色．已知二班同学是一班同学种的树的3倍少8棵，三班同学种的数比一、二两班同学种的树的总和少20棵，若一班共有x名学生，每人种y棵树，试用x，y的代数式完成下列问题．
（1）一班种树xy棵；
（2）二班种树（3xy-8）棵；
（3）三班种树（4xy-28）棵；
（4）以上3个小题的答案中时单项式的是xy，多项式的是3xy-8、4xy-28；当x=30时，结果是一班种树数量为：30y棵；
二班种树数量为（90y-8）棵；
三班种树数量为（120y-28）棵．

某商店若将进价为100元的某商品按120元出售，则可卖出300件
（I）若在120元的基础上每涨价1元，则会少卖出10件，为了获得最大利润，商店应将该商品定价为多少？
（2）为了清库存，商店决定降价，经调查每降价1元可多卖20件，要求售价不低于110（售价为整数）请写出自变量取值范围，如何定价才能获利最大且能更好地清库存？

A、B两处粮库分别有水稻100t和400t，全部运送到C、D两米厂加工，而C、D米厂分别能加工水稻150t和350t；已知从A、B两处米厂的运价如下表：

	到C厂运价	到D厂运价
A粮库	每吨18元	每吨 15元
B粮库	每吨12元	每吨10元

（1）若从B粮库运到C地的水稻为x（50＜x＜150）吨，则从B粮库运到D地的水稻为（400-x）t；从A粮库将水稻运往D地的运输费用为（15x+750）元；
（2）用含x的式子表示出总运输费．（要求：列出算式，并化简）

如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．
（1）圆周上的数字a与数轴上的数8对应，则a=2；
（2）若圆的半径是1厘米，则数轴上2015个单位长度是1343$\frac{1}{3}$π厘米（π取3）．

某商店将每件进货价为30元的商品按每件40元售出，平均每月可销售600件．调查表明：售价在40～60元范围内，这种商品售价每上涨0.5元，其销量就将减少5件．现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，为了实现平均每月10000元的销售利润，问应将每件售价定为多少元？此时销售总成本多少元？

李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上一个动点，连接DE交AC于F．
（1）如图①，当$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{3}$时，求$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$的值；
（2）如图②，当DE平分∠CDB时，求证：AF=$\sqrt{2}$OA；
（3）如图③，当E是BC中点时，过F作FG⊥BC于G，试猜想CG与BG之间的数量关系，并说明理由．

某书上有一道方程题$\frac{2+*x}{3}$+1=x，*处的数字是在印刷时被墨水盖住了，查后面的答案，这道方程的解是x=-2.5，那么*处的数字应该是5．

填写下列证明过程中的推理根据：已知：如图所示，AC，BD相交于O，DF平分∠CDO与AC相交于F，BE平分∠ABO与AC相交于E，∠A=∠C．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=∠C（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠ABO=∠CDO（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=$\frac{1}{2}$∠CDO，∠2=$\frac{1}{2}$∠ABO（角平分线定义），
∴∠1=∠2（等量代换）．

已知：如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=12cm，高AH=8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形零件的一边DE在BC边上，其余两个顶点G、F分别在边AB和AC上．
（1）当加工的矩形零件的两边EF：GF=2：3时，求这个矩形零件的面积；
（2）当矩形零件DEFG与△ABC的面积之比为4：9时，求此时矩形零件DEFG的两边EF：GF的值．

如图，用一根质地均匀的直尺和一些棋子做实验：在直尺的一端放一枚棋子．另一端放n枚棋子，移动质点的位置，使两边平衡，记录支点到两端的距离a，b，如下表：

n（枚）	1	2	3	4	5
a/cm	15	20	22.5	24	25
b/cm	15	10	7.5	6	5

（1）根据统计记录，你发现的规律是a=nb；
（2）若直尺长60cm，直尺的一端放一枚棋子，另一端放9枚棋子，试用一元一次方程求出a，b的值．

已知AB是⊙O的切线，切点为B，直线AO交⊙O于C、D两点，CD=4，∠DAB=30°，动点P在直线AB上运动，射线PC交⊙O于另一点Q，
（1）当点P运动到Q、C两点重合时（如图1），求AP的长．
（2）在点P的运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为2？（直接写出答案）
（3）当使△CQD的面积为2，且Q位于以CD为直径的上半圆上，CQ＞QD时（如图2），求AP的长．

如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（-2，4）、（-2，0）、（-4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A₁B₁C₁．
（2）平移△ABC，使点A移动到点A₂（-1，-1），画出平移后的△A₂B₂C₂，点C₂的坐标（1，-2）．
（3）把△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB₃C₃，点C₃坐标为（1，-2）．