初中试题（第5页）-数学之家

下列命题：
①若a+b+c=0，则b²-4ac≥0；
②若b＞a+c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若b=2a+3c，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
④若b²-4ac＞0，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．
其中正确的是①③④．

某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该商场要求每天利润不能低于1200元，请写出销售价格x（元/件）的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应订为多少元/件？

如图，二次函数y=x²+bx的图象经过点A（-1，4）和点B（2，m）．
（1）填空：b=-3；m=-2；
（2）过点A作AC∥x轴，交抛物线于点C，点P是线段OC上的动点（与O、C不重合）．
①若以O、B、C为顶点的三角形和以O、B、P为顶点的三角形相似，求它们的相似比；
②设点F是BC的中点，当OP为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△CPF重叠部分的面积是△BCP的面积的$\frac{1}{4}$？

解答下列问题．
（1）适合二元一次方程2x-y=4的解有多少组？请写出几组；
（2）适合二元一次方程x+y=5的解有多少组？请写出几组；
（3）找出一组x、y的值，使这组值同时适合方程2x-y=4和x+y=5；
（4）根据上面的探究，直接写出二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=4}\\{x+y=5}\end{array}\right.$的解，该方程组的解有多少组？

已知直线l：y=2x+1和抛物线C₁：y=a（x-t-2）²+t²（a，t是常数，a≠0，t≠0），抛物线C₁与x轴交于点A（2，0）
（1）求a的值；
（2）若t＞0，把抛物线C₁向左平移t个单位后得抛物线C₂，若抛物线C₂与直线l有唯一公共点M，求平移后的抛物线C₂解析式；
（3）若点N是抛物线C₂的顶点，在抛物线C₂上是否存在点Q，使△MNQ是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

教练对明明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系满足y=a（x-4）²+h．
（1）在某次比赛中，他第一次投掷后，铅球的最大高度为3m，落地点距离出手点的水平距离为10m，求他的出手高度是多少m？
（2）第二次投掷时，他加大了力度，奋力一掷，结果出手点高度变为2m，铅球行进的最大高度增加了0.6m，求他这次投掷后的落地点距离出手点的水平距离．
（3）若第三次投掷后，落地点距离出手点的距离为12，他便可以获得冠军．如果出手高度仍为2m，则铅球行进过程中的最大高度为多少m？

请你在下图的3个网格（相邻两格点的距离均为1个单位长度）中，分别设计一个图案，要求：
（1）在图①中设计的图案是面积等于2$\sqrt{3}$的轴对称图形；
（2）在图②中设计的图案是面积等于2$\sqrt{3}$的中心对称图形；
（3）在图③中设计的图案是面积等于2$\sqrt{3}$，既是中心对称图形又是轴对称图形．

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，D（m，m+4）为直线AB上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C，CD的延长线交抛物线于点E，连接BE．
（1）点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4）．抛物线的解析式为y=-x²-3x+4；
（2）若点D只在线段AB上运动，且△DBE与△DAC相似，求m的值；
（3）若以点E、D、O、B为顶点的四边形是平行四边形，直接写出D点的坐标．

如图所示，在大小为4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求作答．
（1）在图1中，画一条长为$\sqrt{13}$的线段；
（2）在图2中，画一个正方形，使它的面积是8；
（3）在图3中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；
（4）三个顶点都在格点的直角三角形共有17个．（全等的三角形只算一个）

某校为了解2014年七年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%．
（1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角α的度数；
（2）该校2014年七年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少

类别	科普类	教辅类	文艺类	其他
册书（本）	80	80	m	48

阅读下面的材料，回答问题：
爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x²-6x+10=（x²-6x+9-9）+10=（x-3）²-9+10=（x-3）²+1≥1；因此x²-6x+10有最小值是1；
（1）尝试：-3x²-6x+5=-3（x²+2x+1-1）+5=-3（x+1）²+8，因此-3x²-6x+5有最大值是8
（2）应用：有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成一个的长方形花圃．能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积．

请你在下图的3个网格（相邻两格点的距离均为1个单位长度）中，分别设计一个图案，要求：
（1）在图①中设计的图案是面积等于2$\sqrt{3}$的轴对称图形；
（2）在图②中设计的图案是面积等于2$\sqrt{3}$的中心对称图形；
（3）在图③中设计的图案是面积等于2$\sqrt{3}$，既是中心对称图形又是轴对称图形．

已知在纸面上有一数轴（如图所示）．

操作一：
（1）折叠纸面，使数1表示的点与数-1表示的点重合，则此时数-2表示的点与数2表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，使数5表示的点与数-1表示的点重合，回答下列问题：
①数6表示的点与数-2表示的点重合；
②若这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（A在B的左侧），则A点表示的数为-3.5，B点表示的数为7.5．

有两个一元二次方程：M：ax²+bx+c=0，N：cx²+bx+a=0，其中a+c=0，以下三个个结论中，
（1）如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
（2）如果5是方程M的一个根，那么$\frac{1}{5}$是方程N的一个根；
（3）如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1；
错误的个数是（　　）

如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（0，-2），连接AC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）如图2，点P在线段AC的延长线上，作CP的垂直平分线，垂足为点D，并与x轴交于点G，分别连接PG，BG，若点P在线段AC的延长线上运动（P不与点C重合），∠BGP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠BGP的度数．

如图，直线y=-x+3与x轴y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求此抛物线的函数关系式，直接写一次函数值大于二次函数值时x的取值范围．
（2）试在抛物线的对称轴上找一点E，在抛物线上找一点F，使以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出此时E、F点的坐标．
（3）在抛物线上是否存点P，使得以P为圆心的圆与直线x=2和x轴都相切？如果存在求出P点的坐标，如果不存在说明理由．

已知关于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x²+2x+$\frac{k-1}{2}$的图象向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式；
（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线y=kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线的另一个交点为C，直线BC上方的抛物线与线段BC组成新的图象，当此新图象的最小值大于-5时，求k的取值范围．

已知抛物线y=ax²+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x轴、y轴的交点分别为A、B，点P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0；②x=3是ax²+bx+3=0的一个根；③△PAB周长的最小值是$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$．其中正确的是（　　）

如图，抛物线y=-$\frac{5}{4}$x²+bx+c与直线y=$\frac{1}{2}$x+c相交于A（0，1），B（3，$\frac{5}{2}$）两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，在线段AB上方的抛物线上取一点D，过D作DF⊥x轴，垂足为点F，交AB于点E．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求DE的最大值；
（3）连接BD、CE，四边形BDEC能否成为平行四边形？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，D（m，m+4）为直线AB上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C，CD的延长线交抛物线于点E，连接BE．
（1）点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4）．抛物线的解析式为y=-x²-3x+4；
（2）若点D只在线段AB上运动，且△DBE与△DAC相似，求m的值；
（3）若以点E、D、O、B为顶点的四边形是平行四边形，直接写出D点的坐标．