如图,在菱形ABCD中,两条对角线长是AC=10,BD=6,F是线段AO上一点(不与A、O重合),Q是线段OC上一点,且AP=CQ,分别将∠BAD和∠BCD折叠,使A、C两点都在对角线AC上,折痕分别是EH和FG,EH过P点,FG过Q点,连接EF、HG,再把折叠部分铺平.
(1)四边形EFGH的形状是矩形;
(2)设AP=x,四边形EFGH的面积为y;
①求y与x的函数关系式及面积y的取值范围;
②当四边形EFGH是正方形时,求面积y的值.

分析 (1)根据菱形的性质得到∠HAP=∠EAP=∠GCQ=∠FCQ,由折叠的性质得到AP⊥HE,CQ⊥GF,推出△APH≌△CQG,得到PH=GQ,同理PH=GQ=PE=FQ,证得四边形EFGH是平行四边形,得到HG∥EF,根据平行线的性质得到∠AHF=∠ADB,∠HAP=∠DHG,即可得到结论;
(2)根据菱形的性质得到AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=5,AC⊥BD,由折叠的性质得HE⊥BD,推出△AEH∽△ABD,得到$\frac{HE}{BD}=\frac{AP}{AO}$,求得HE=$\frac{6}{5}$x,根据矩形的面积公式得到y=HE•PQ=$\frac{6}{5}$x•(10-2x),于是得到结论;②根据正方形到现在列方程得到x=$\frac{25}{8}$,即可得到结果.

解答 解:(1)四边形EFGH的形状是矩形;
∵在菱形ABCD中,
∴∠HAP=∠EAP=∠GCQ=∠FCQ,
由折叠的性质得:AP⊥HE,CQ⊥GF,
在△APH与△CQG中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAP=∠GCQ}\\{∠APH=∠CQG=90°}\\{AP=CQ}\end{array}\right.$,
∴△APH≌△CQG,
∴PH=GQ,
同理PH=GQ=PE=FQ,
∴HE=GF,
∵HE∥GF,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∴HG∥EF,
∴∠AHF=∠ADB,∠HAP=∠DHG,
∵∠HAP+∠AHP=90°,
∴∠AHP+∠DHG=90°,
∴∠EHG=90°,
∴四边形EFGH是矩形,
故答案为:矩形;

(2)①∵在菱形ABCD中,
∴AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=5,AC⊥BD,
由折叠的性质得HE⊥BD,
∴HE∥BD,
∴△AEH∽△ABD,
∴$\frac{HE}{BD}=\frac{AP}{AO}$,
∴$\frac{HE}{6}=\frac{x}{5}$,
∴HE=$\frac{6}{5}$x,
∵PQ=10-2x,
∴y=HE•PQ=$\frac{6}{5}$x•(10-2x),
即y=-$\frac{12}{5}$x2+12x,(0<y≤15);

②当四边形EFGH是正方形时,即HE=EF,
∴$\frac{6}{5}$x=10-2x,
解得:x=$\frac{25}{8}$,
∴y=-$\frac{12}{5}$x2+12x=$\frac{225}{16}$.

点评 本题考查了菱形的性质,矩形的判定和性质,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,折叠的性质,求二次函数的解析式,熟练掌握各性质定理是解题的关键.


上一题:某自行车厂一周计划生产700辆自行车.平均每天生产100辆.由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入.表是某周的生产情况:星期一二三四五六日增减+6-2-4+7-8+10-5(1)这一周最后三天共

下一题:如图所示.以菱形ABCD的对角线AC为边作矩形ACEF.使得点D在矩形ACEF的边EF上.再以矩形ACEF的对角线AE为边作平行四边形AEGH.使点F在GH边上.记菱形ABCD的面积为S1.矩形ACE
查看答案
查看答案
查看答案
查看答案
查看答案
查看答案
查看答案
查看答案
查看答案
查看答案