如图,已知抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点D与点C关于抛物线的对称轴对称,点A的坐标为(-1,0).
(1)求该抛物线的顶点坐标;
(2)若点E为该抛物线上的点,点F为直线AD上的点,且点E、F的纵坐标都是1,求线段EF的长;
(3)若点P是该抛物线上的一个动点,且点P在直线AD的上方,求△APD面积的最大值.

分析 (1)根据待定系数法可求该抛物线的解析式,进一步得到顶点坐标;
(2)先根据对称轴得到点C关于对称轴的对称点D的坐标为(2,3),根据待定系数法可求直线AD的解析式
,在y=x+1中,令y=1,可得F(0,1).在y=-x2+2x+3中,令y=1,可得1=-x2+2x+3,解得${x_1}=1-\sqrt{3}$,${x_2}=1+\sqrt{3}$,根据两点之间的距离公式可得$EF=\sqrt{3}-1或\sqrt{3}+1$.
(3)过点P作PM⊥x轴于点M,交AD于点N.设点P的横坐标为m,则P(m,-m2+2m+3),N(m,m+1),可得PN=(-m2+2m+3)-(m+1)=-m2+m+2.可得S△APD=S△APN+S△DPN=-$\frac{3}{2}$(m-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{27}{8}$,根据最值即可求解.

解答 解(1)∵抛物线y=-x2+2x+c过点A(-1,0),
∴0=-1-2+c,
∴c=3,
∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴顶点坐标为(1,4).
(2)∵C(0,3),抛物线的对称轴为x=1,
∴点C关于对称轴的对称点D的坐标为(2,3),
则直线AD的解析式为:y=x+1.
在y=x+1中,令y=1,得1=x+1,解得x=0,
∴F(0,1).  
在y=-x2+2x+3中,令y=1,得1=-x2+2x+3,解得${x_1}=1-\sqrt{3}$,${x_2}=1+\sqrt{3}$,
∴点E的坐标为PM⊥x轴. 
∴$EF=\sqrt{3}-1或\sqrt{3}+1$.
(3)过点P作PM⊥x轴于点M,交AD于点N.
设点P的横坐标为m,则P(m,-m2+2m+3),N(m,m+1),
∴PN=(-m2+2m+3)-(m+1)=-m2+m+2. 
∴S△APD=S△APN+S△DPN
=$\frac{1}{2}PN•({x_D}-{x_A})$
=$\frac{1}{2}(-{m^2}+m+2)×3$
=$-\frac{3}{2}{(m-\frac{1}{2})^2}+\frac{27}{8}$.
∴当m=$\frac{1}{2}$时,${S_{△APD}}_{最大}=\frac{27}{8}$.

点评 本题考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、两点间的距离公式等知识点.综合性较强,有一定的难度.


上一题:如图1.点P为∠MON的平分线上一点.以P为顶点的角的两边分别与射线OM.ON交于A.B两点.如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2.我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.如图

下一题:某电话公司开设了两种手机通讯业务.甲种业务:使用者先缴50元月租费.然后每通话1分钟.再付话费0.4元,乙种业务:不交月租费.每通话1分钟.付话费0.6元.若一个月内通话x分钟.两种方式的费用分别为y
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