如图1,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2,我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.如图2,已知∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,且∠APB=135°.
请判断:∠APB是否为∠MON的智慧角,并说明理由.

分析 由角平分线求出∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MON=45°,再证出∠OAP=∠OPB,证明△AOP∽△POB,得出对应边成比例$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OB}$,得出OP2=OA•OB,即可得出结论;

解答 证明:∵∠MON=90°,P为∠MON的平分线上一点,
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MON=45°,
∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°,
∴∠OAP+∠APO=135°,
∵∠APB=135°,
∴∠APO+∠OPB=135°,
∴∠OAP=∠OPB,
∴△AOP∽△POB,
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OB}$,
∴OP2=OA•OB,
∴∠APB是∠MON的智慧角.

点评 本题考查了角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、新定义以及运用,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.


上一题:如图.在6×6的正方形方格中.每个小正方形的边长都为1.顶点都在网格线交点处的三角形.△ABC是一个格点三角形.(1)在图①中.请判断△ABC与△DEF是否相似.并说明理由,(2)在图②中.以O为位似

下一题:如图.已知抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A.B两点.与y轴交于C点.点D与点C关于抛物线的对称轴对称.点A的坐标为.(1)求该抛物线的顶点坐标,(2)若点E为该抛物线上的点.点F为直线AD上的点