如图1所示,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,
(1)求证:△BCG≌△DCE;
(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′,判断四边形E′BGD是什么特殊四边形,并说明理由;
(3)如图2所示,过点G作MN∥DE交AD于点M,交BE于点NM连接BM,设CG的长为x,正方形ABCD的边长为a(a>0),△BMN的面积为S,试探究S与x的函数关系式,并写出x的取值范围.

分析 (1)由正方形ABCD,得BC=CD,∠BCD=∠DCE=90°,又CG=CE,所以△BCG≌△DCE(SAS).
(2)由(1)得BG=DE,又由旋转的性质知AE′=CE=CG,所以BE′=DG,从而证得四边形E′BGD为平行四边形.
(3)延长BG交DE于点O,结合已知条件可以判定四边形MNED为平行四边形,结合平行四边形的性质和已知条件推知∠DOB=90°,则BG⊥MN,所以根据三角形的面积公式进行解答即可.

解答 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°.
∵∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠BCD=∠DCE=90°.
∵在△BCG和△DCE中,$\left\{\begin{array}{l}{BC=BD}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$,
∴△BCG≌△DCE(SAS);

(2)解:四边形E′BGD是平行四边形.理由如下:
∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′,
∴CE=AE′.
∵CE=CG,
∴CG=AE′.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BE′∥DG,AB=CD.
∴AB-AE′=CD-CG.
即BE′=DG.
∴四边形E′BGD是平行四边形.

(3)如图,延长BG交DE于点O,
∵四边形ABCD是正方形,点E在BC的延长线上,
∴AD∥BE,则MD∥NE,
又∵MN∥DE,
∴四边形MNED为平行四边形,MN=DE.
又由(1)知,△BCG≌△DCE,则∠CDE=∠CBG,BG=DE,
∴BG=DE=MN.
∵∠CGB+∠BGC=90°,∠BGC=∠DGO,
∴∠CDE+∠DGO=90°,
∴∠DOB=90°,即BO⊥DE,
∴BG⊥MN,
∴S=$\frac{1}{2}$BG•MN=$\frac{1}{2}$BG2=$\frac{1}{2}$(a2+x2)(0<x<a).

点评 本题考查了四边形综合题,其中涉及到了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定等知识,解答(3)时,注意辅助线的作法,利用平行线的性质证得BG是△BMN的高线是解题的难点.


上一题:如图.已知矩形ABCD的边长AB=2.BC=3.点P是AD边上的一动点.Q是BC边上的任意一点.连接AQ.DQ.过P作PE∥DQ交AQ于E.作PF∥AQ交DQ于F.(1)求证:△APE∽△PDF,(2

下一题:如图.在△ABC中.∠B=90°.AB=6cm.BC=12cm.动点P从A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动.动点Q从点B开始沿BC边向C以3cm/s的速度移动.已知P.Q分别从A.B同时出发.点
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