如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A,D),Q是BC边上的任意一点,连接AQ,DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥AQ交DQ于F.
(1)求证:△APE∽△PDF;
(2)设AP=x,求四边形EQDP的面积S(用含x的代数式表示出来);若四边形EQDP的面积等于2$\frac{1}{4}$时,说明PE与DQ的数量关系.

分析 (1)根据PE∥QD得出的同位角相等即可证得两三角形相似.
(2)由PE∥DQ,得到△APE∽△AQD,根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△APE}}{{S}_{△AQD}}$=($\frac{AP}{AD}$)2=$\frac{{x}^{2}}{9}$,求出S△AQD=$\frac{1}{2}$S矩形ABCD=3,于是得到S=S△AQD-S△APE=-$\frac{1}{3}$x2+3,根据四边形EQDP的面积等于2$\frac{1}{4}$,列方程即可得到结论.

解答 解:(1)△APE∽△PDF,
∵PE∥DQ,
∴∠APE=∠PDF,
∵PF∥AQ,
∴∠DPF=∠PAE,
∴△APE∽△PDF;

(2)∵PE∥DQ,
∴△APE∽△AQD,
∴$\frac{{S}_{△APE}}{{S}_{△AQD}}$=($\frac{AP}{AD}$)2=$\frac{{x}^{2}}{9}$,
∵S△AQD=$\frac{1}{2}$S矩形ABCD=3,
∴S△APE=$\frac{{x}^{2}}{3}$,
∴S=S△AQD-S△APE=-$\frac{1}{3}$x2+3,
若四边形EQDP的面积等于2$\frac{1}{4}$时,
即2$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3}$x2+3,
解得:x=$\frac{3}{2}$,
∴AP=$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$AD,
∴PE=$\frac{1}{2}$DQ.

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、图形面积的求法、二次函数的应用,平行线的性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.


上一题:如图.过△ABC的顶点A分别作对边BC上的高AD和中线AE.D为垂足.E为BC的中点.规定λA=$\frac{DE}{BE}$.特别地.当点D与E重合时.规定λA=0.对λB.λC作类似的规定.给出下

下一题:如图1所示.在正方形ABCD中.G是CD上一点.延长BC到E.使CE=CG.(1)求证:△BCG≌△DCE,(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′.判断四边形E′BGD是什么特殊四边形.
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