如图,过△ABC的顶点A分别作对边BC上的高AD和中线AE,D为垂足,E为BC的中点,规定λA=$\frac{DE}{BE}$,特别地,当点D与E重合时,规定λA=0.对λB、λC作类似的规定.给出下列结论:
①若∠C=90°,∠A=30°,则λA=1,λC=$\frac{1}{2}$.
②若λA=1,则△ABC为直角三角形.
③若λA>1,则△ABC为钝角三角形;若λA<1,则△ABC为锐角三角形.
④若λABC=0,则△ABC为等边三角形.
其中,正确结论的个数是(  )
A.1B.2C.3D.4

分析 ①根据规定λA的定义,以及有一个角是30°的直角三角形的性质即可解决;
②根据规定λA的定义可得DE=BE,据此即可判断;
③根据λA的定义,判断D和E的位置即可判断;
④λA=0,则D与E重合,则AD所在直线是BC的垂直平分线,则AB=AC,据此即可判断.

解答 解:①在图1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,
E是BC的中点,BC边上的高与AC重合,
则λA=$\frac{EC}{BE}$=1;
当F是AB的中点时,BC=$\frac{1}{2}$AB=BF,∠B=60°,
则△BCF是等边三角形,
则DF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AF,则λC=$\frac{1}{2}$,故①正确;
②若λA=1,则DE=BE,次时D和C重合,则△ABC为直角三角形,故②正确;
③当λA>1时,DE>BE=EC,则E在BD的延长线上,此时△ABC是钝角三角形;
当λA<1时,若λB>1时△ABC为钝角三角形,故③错误;
④λA=0,则当点D与E重合时,则AB=AC,
同理,λBC=0,则BC=AC,AB=BC,
∴AB=BC=AC,则△ABC是等边三角形.故④正确.
故选C.

点评 本题考查了直角三角形的性质以及等腰三角形的性质,正确理解规定是解决本题的关键.


上一题:利用一面墙.用砌37米长的墙的材料围成一个矩形花园ABCD.与围墙平行的一边BC上要预留3米宽的入口(如图中MN所示.不用砌墙).设边AB的长是x米.矩形花园ABCD的面积是y平方米.(1)直接写出y

下一题:如图.已知矩形ABCD的边长AB=2.BC=3.点P是AD边上的一动点.Q是BC边上的任意一点.连接AQ.DQ.过P作PE∥DQ交AQ于E.作PF∥AQ交DQ于F.(1)求证:△APE∽△PDF,(2
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