已知AB是⊙O的切线,切点为B,直线AO交⊙O于C、D两点,CD=4,∠DAB=30°,动点P在直线AB上运动,射线PC交⊙O于另一点Q,
(1)当点P运动到Q、C两点重合时(如图1),求AP的长.
(2)在点P的运动过程中,有几个位置(几种情况)使△CQD的面积为2?(直接写出答案)
(3)当使△CQD的面积为2,且Q位于以CD为直径的上半圆上,CQ>QD时(如图2),求AP的长.

分析 (1)首先根据题意得到PC为⊙O的切线,在Rt△ACP中,利用锐角三角形函数值的定义求出AP的长;
(2)首先根据题意可得到△CQD中CD边上的高为1,进而作出图形得到答案;
(3)过点P作PM⊥AD于点M,过点Q作QN⊥AD于点N,连接QD,根据相似三角形的性质可得QN2=CN×DN,设CN=x,则DN=4-x,列出x的方程,求出x的值,进而求出AP的长度.

解答 解:(1)∵AB是⊙O的切线,
∴∠OBA=90°,
∵Rt△ABC中,直径CD=4,∠DAB=30°,
∴OB=OC=AC=2,
∵当点P运动到Q、C两点重合时,PC为⊙O的切线,
∴∠PCA=90°,
∵∠DAB=30°,AC=2,
∴AP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
(2)4种,如图1,由CD=4,S△CQD=2,
故CD上的高的长度为1,由图可知有4个位置使△CDQ的面积为2;
(3)过点P作PM⊥AD于点M,过点Q作QN⊥AD于点N,连接QD,
∵S△CQD=2,
∴$\frac{1}{2}$QN×CD=2,
∴QN=1,
∵CD是圆O的直径,
∴∠CQD=90°
易证△QCN∽△DQN,
∴$\frac{QN}{DN}=\frac{CN}{QN}$,
∴QN2=CN×DN,
设CN=x,则DN=4-x,
∴x(4-x)=1,
解得:x=2±$\sqrt{3}$,
∵CQ>QD,
∴CN=2+$\sqrt{3}$,
∴$\frac{CN}{QN}$=2+$\sqrt{3}$,
易证:△PMC∽△QNC,得:$\frac{CN}{QN}=\frac{CM}{MP}$=2+$\sqrt{3}$,
∴CM=2(2+$\sqrt{3}$)MP,
在Rt△AMP中易得:AM=$\sqrt{3}$MP,
∵AM+CM=AC=2,
∴(2+$\sqrt{3}$)MP+$\sqrt{3}$MP=2,
∴MP=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$,
∴AP=2MP=$\sqrt{3}$-1.

点评 本题主要考查了圆的综合题的知识,此题涉及到了相似三角形的判定与性质、切线的性质、平行线的性质以及勾股定理的知识,解答本题的关键是正确地作出辅助线利用相似三角形的性质解答,此题有一定的难度.


上一题:[初中试题]

下一题:如图.在正方形网络中.△ABC的三个顶点都在格点上.点A.B.C的坐标分别为.结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.(2)平移△ABC.使点A移动到点
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