已知函数f(x)是R上的偶函数,且f(x+1)•f(x-1)=1,f(x)>0恒成立,则f(2011)=(  )
A、-1B、0C、1D、2

考点:抽象函数及其应用,函数的值
专题:函数的性质及应用
分析:根据f(x+1)•f(x-1)=1,f(x)>0恒成立解出函数的周期为4及f(1)=f(-1)=1,再由周期性得出f(2011)=f(-1)即可求出f(2011)的值
解答: 解:由f(x+1)•f(x-1)=1知,函数自变量相差2,函数值互为倒数,故函数周期是4
再令x=0可得f(1)•f(-1)=1,又f(x)>0恒成立
所以f(1)=f(-1)=1
∵2011=503×4-1
∴f(2011)=f(-1)=1
故选:C.
点评:本题考查函数奇偶性的性质,解题的关键是充分利用恒等式求出函数的周期以及某些函数值,利用题设中的恒等式求出函数的周期及通过赋值求出f(-1)=1是解题的难点.本题考查了观察分析的能力及灵活变形的能力.

上一题:有关数列的表达:①数列若用图象表示.从图象上看是一群孤立的点,②数列的项是有限的,③若一个数列是递减的.则这个数列一定是有穷数列,其中正确的个数( ) A.0B.1C.2D.3

下一题:一个几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为( ) A.9π-6B.36π-24C.12π-6D.12π-12