已知函数f（x）=ax³-6ax²+b，是否存在实数a，b，使f（x）在[-1，2]上取得最大值3，最小值-29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意求导f′（x）=3ax²-12ax=3ax（x-4），讨论a以确定函数的单调性，从而确定最值，进而求a，b．

解答： 解：∵f（x）=ax³-6ax²+b，
∴f′（x）=3ax²-12ax=3ax（x-4）；
①若a＞0，
f（x）在[-1，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减；
故f（0）=b=3；
f（-1）=-7a+3；f（2）=-16a+3，
故f（2）=-16a+3=-29，故a=2；
故a=2，b=3；
②若a＜0，
则f（x）在[-1，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增；
故f（0）=b=-29；
f（-1）=-7a-29；f（2）=-16a-29，
故f（2）=-16a-29=3，故a=-2；
故a=-2，b=-29．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想，属于中档题．