高中试题（第5页）-数学之家

如图，跳台滑雪运动员（可视为质点）经过一段加速滑行后从O点水平飞出，落到斜坡上的A点，已知O点是斜坡的起点，测得A点与O点距离L=12m，斜坡与水平的夹角θ=37°，运动员的质量m=50kg，不计空气阻力，取sin37°=0.60，cos37°=0.80，g取10m/s²．求：
（1）运动员从O点水平飞出后到达A点所用时间t；
（2）运动员离开O点时的速度v₀大小；
（3）运动员从O点水平飞出后到达与斜坡之间的距离最大处所用的时间t．

某市为调研高三一轮复习质量，在2014年10月份组织了一次摸底考试，并从某校2015届高三理科学生在该次考试的数学成绩进行分析，利用分层抽样抽取90分以上的1200名学生的成绩进行分析，已知该样本的容量为20，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），得到的频率分布表如下：

分数段（分）	[90，110）	[110，130）	[130，150]
频数			4
频率	a	0.45	0.2

（Ⅰ）求表中a的值及分数在[120，130）范围内的学生人数；
（Ⅱ）从得分在（130，150]内的学生随机选2名学生的得分，求2名学生的平均分不低于140分的概率．

某中学高一年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加学科测试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．
（Ⅰ）求x和y的值，并计算甲班7位学生成绩的方差S²；
（Ⅱ）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求至少有一名学生是甲班的概率．

定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：1=

，…依此类推可得：1=

，其中m≤n，m，n∈N^*．设1≤x≤m，1≤y≤n，则

的最小值为（　　）

观察下列表格：我们可以发现（用a，b，c表示三个数，且a＜b＜c）：

3，4，5	3²+4²=5²
5，12，13	5²+12²=13²
7，24，25	7²+24²=25²
9，40，41	9²+40²=41²
…	…
21，b，c	21²+b²=c²

c²
（2）最小值a是一个

数（填“奇”或“偶”），其余两个数b，c是

的两个正整数
（3）最小奇数的平方等于另外两个整数的

（4）x是大于1的奇数，将x²拆分成两个连续整数y，y+1的和，试证明：x，y，y+1是一组勾股数
（5）求出表格中的b，c的值．

如图为北京市2001年到2013年人均生活用水量和常住人口的情况：

（Ⅰ）比较前6年与后7年人均生活用水量的平均值的大小；（不要求计算过程）
（Ⅱ）若从这13年中随机选择连续的三年进行观察，求所选的这三年的人均用水量恰是依次递减的概率；（Ⅲ）由图判断从哪年开始连续四年的常住人口的方差最大？并结合两幅图表推断北京市在2010至2013四年间的总生活用水量的增减情况．（结论不要求证明）

某普通高中高三年级共有360人，分三组进行体质测试，在三个组中男、女生人数如下表所示．已知在全体学生中随机抽取1名，抽到第二、三组中女生的概率分别是0.15、0.1．

	第一组	第二组	第三组
女生	86	x	y
男生	94	66	z

（1）求x，y，z的值；
（2）为了调查学生的课外活动时间，现从三个组中按1：60的比例抽取学生进行问卷调查，三个组被选取的人数分别是多少？
（3）若从（2）中选取的学生中随机选出两名学生进行访谈，求参加访谈的两名学生“来自两个组”的概率．

某校为了解高一年级期末考试数学科的情况，从高一的所有数学试卷中随机抽取n份试卷进行分析，得到数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩在[70，80）的人数为20，规定：成绩≥80分为优秀．
（1）求样本中成绩优秀的试卷份数，并估计该校高一年级期末考试数学成绩的优秀率；
（2）从样本成绩在[50，60）和[90，100）这两组随机抽取2名同学，设其测试成绩分别为m，n，求事件“|m-n|≤10”的概率．

2008年5月12日在四川汶川地区发生了8.0级强烈地震，全国人民万众一心，抗震救灾，某市计划用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设汽车以v km/h的速度匀速直达灾区，已知该市到灾区公路路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于（

）²km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是多少（精确到1h，车身长不计）？

若函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b（其中a，b不同时为0），则称函数y=f（x）为“准奇函数”，称点（a，b）为函数f（x）的“中心点”．现有如下命题：
①函数f（x）=sinx+1是准奇函数；
②函数f（x）=x³是准奇函数；
③若准奇函数y=f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），则函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数；
④已知函数f（x）=x³-3x²+6x-2是准奇函数，则它的“中心点”为（1，2）；
其中正确的命题是

．（写出所有正确命题的序号）

某校高三年级共有300人参加数学期中考试，从中随机抽取4名男生和4名女生的试卷，获得某一道题的样本，该题得分的茎叶图如图．
（Ⅰ）求样本的平均数；
（Ⅱ）设该题得分大于样本的平均数为合格，根据样本数据估计该校高三年级有多少名同学此题成绩合格；
（Ⅲ）在这4名男生和4名女生中，分别随机抽取一人，求该题女生得分不低于男生得分的概率．

以下四个命题中：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
③根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；
④若某项测量结果ξ服从正态分布N（1，σ²），且P（ξ≤4）=0.9，则P（ξ≤-2）=0.1．
其中真命题的个数为（　　）

我校开设了“足球社”、“诗雨文学社”、“旭爱公益社”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：

社团	足球社	诗雨文学社	旭爱公益社
人数	320	240	200

已知“足球社”社团抽取的同学8人．
（1）求样本容量n的值和从“诗雨文学社”社团抽取的同学的人数；
（2）若从“诗雨文学社”社团抽取的同学中选出2人担任该社团正、副社长的职务，已知“诗雨文学社”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为正、副社长的概率．

观察下列表格：我们可以发现（用a，b，c表示三个数，且a＜b＜c）：

3，4，5	3²+4²=5²
5，12，13	5²+12²=13²
7，24，25	7²+24²=25²
9，40，41	9²+40²=41²
…	…
21，b，c	21²+b²=c²

c²
（2）最小值a是一个

数（填“奇”或“偶”），其余两个数b，c是

的两个正整数
（3）最小奇数的平方等于另外两个整数的

（4）x是大于1的奇数，将x²拆分成两个连续整数y，y+1的和，试证明：x，y，y+1是一组勾股数
（5）求出表格中的b，c的值．

春节过后购物旺季随之转向淡季，商家均采用各种促销方法促销，某商场规定：凡购物均可获得一次抽奖机会，抽奖方法为：从编号1-6的相同小球中任意抽取一个小球记下编号后放回，若抽到编号为6的小球则再获一次机会，最多抽取二次．
（1）求顾客恰有两次抽奖机会的概率；
（2）若抽得小球编号之和大于10为中奖，求中奖概率．

为了更好的了解某校高三学生期中考试的数学成绩情况，从所有高三学生中抽取40名学生，将他们的数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）若该校高三年级有1800人，试估计这次考试的数学成绩不低于60分的人数及60分以上的学生的平均分；
（2）若从[40，50）与[90，100]这两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率．

在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人．

（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；
（2）已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A．在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率．

某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50，60）的学生人数为6．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；
（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩≥70”的概率．

某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为（　　）

李红为班级购买笔记本作晚会上的奖品，回来时向生活委员刘磊交账时说：“共买了36本，有两种规格，单价分别为1.80元和2.60元，去时我领了100元，现在找回27.60元“刘磊算了一下说：“你一定搞错了“李红一想，发觉的确不对，因为他把自己口袋里原有的2元钱一起当作找回的钱款交给了刘磊，请你算一算两种笔记本各买了多少？想一想有没有可能找回27.60元，试用方程的知识给予解释．