已知函数f(x)的定义域为{x|x≠0},函数g(x)=xf(x)为偶函数,且g(-1)=0,若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x+1)>0的解集是

考点:奇偶性与单调性的综合
专题:函数的性质及应用
分析:本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用,先由g(-1)=0得则f(-1)=0,然后由函数g(x)为偶函数得f(x)为奇函数,利用奇函数的性质得f(1)=0,且函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,再用f(-1)和f(1)代替f(x+1)>0中的0,分类x+1>0和x+1<0,在不同的单调区间上求解.
解答: 解:由g(-1)=0得g(-1)=-f(-1)=0,则f(-1)=0,
又∵函数f(x)的定义域为{x|x≠0},函数g(x)=xf(x)为偶函数,
∴g(x)定义域也是{x|x≠0},且g(-x)=g(x),
∴-xf(-x)=xf(x),
∴f(-x)=-f(x),对x∈{x|x≠0}成立,
∴f(x)为奇函数,
又∵f(-1)=0,
函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f(1)=0,
函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,
∴当x+1>0即x>-1时,f(x+1)>0?f(x+1)>f(1)⇒x+1>1⇒x>0;
当x+1<0即x<-1时,f(x+1)>0?f(x+1)>f(-1)⇒x+1>-1⇒x>-2⇒-2<x<-1;
综上,f(x+1)>0的解集是(-2,-1)∪(0,+∞).
故答案为:(-2,-1)∪(0,+∞).
点评:本题的关键是分析条件得到函数f(x)的奇偶性,再综合单调性求解.要求熟练应用函数性质,属于中低档题目.

上一题:设命题p:函数y=cos2x的最小正周期为π2.命题q:函数y=sinx的图象关于直线x=π2对称.则下列判断正确的是( ) A.p为真B.¬q为真C.p∧q为真D.p∨q为真

下一题:已知x>1.y>1.且14lnx.14.lny成等比数列.则xy的最小值是( ) A.1B.1eC.eD.2