已知函数y=f(x),x∈R,给出下列结论:
①若对于任意x1,x2∈R且x1≠x2,都有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
<0,则f(x)为R上的减函数;
②若f(x)为R上的偶函数,且在(-∞,0]内是减函数,f(-2)=0,则f(x)>0的解集为(-2,2);
③若f(x)为R上的奇函数,则y=f(x)•f(|x|)也是R上的奇函数;
④t为常数,若对任意的x都有f(x-t)=f(x+t),则f(x)的图象关于x=t对称.
其中所有正确的结论序号为

考点:命题的真假判断与应用
专题:阅读型,函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析:由单调性的定义,即可判断①;由偶函数的单调性可得f(x)在[0,+∞)上递增,f(x)>0即为f(|x|)>f(2),即有|x|>2,计算即可判断②;由奇偶性的定义,即可判断③;由周期函数的定义,可得f(x)为周期函数,并非对称函数,若f(x)满足f(t+x)=f(t-x),则f(x)关于直线x=t对称,即可判断④.
解答: 解:对于①,若对于任意x1,x2∈R且x1≠x2,都有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
<0,
即当x1<x2时,f(x1)>f(x2),则f(x)为R上的减函数,则①对;
对于②,若f(x)为R上的偶函数,且在(-∞,0]内是减函数,则f(x)在[0,+∞)上递增,
f(2)=f(-2)=0,则f(x)>0即为f(|x|)>f(2),即有|x|>2,解得x>2或x<-2,则②错;
对于③,若f(x)为R上的奇函数,则f(-x)=-f(x),f(-x)•f(|-x|)=-f(x)•f(|x|),
即有y=f(x)•f(|x|)也是R上的奇函数,则③对;
对于④,若对任意的x都有f(x-t)=f(x+t),即有f(x)=f(x+2t),
即f(x)为周期函数,并非对称函数,若f(x)满足f(t+x)=f(t-x),
则f(x)关于直线x=t对称,则④错.
故答案为:①③.
点评:本题考查函数的单调性和奇偶性以及周期性的判断和运用,考查不等式的解法,考查运算能力,属于基础题和易错题.

上一题:某城市对一项惠民市政工程满意程度进行网上调查.有18000位市民参加了投票.经统计.各分数段的人数如下表:满意程度[0.20)[20.40)[40.60)[60.80)[80.100)人数K^S*5U

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